Calculer un volume : cube, pavé droit, cylindre
Le volume mesure la place qu’occupe un objet dans l’espace. Pour les solides droits, une seule idée suffit : on multiplie l’aire de la base par la hauteur. Le reste est une affaire d’unités.
Le principe : aire de la base × hauteur
Imaginez une pile de feuilles identiques : le volume de la pile est l’aire d’une feuille multipliée par la hauteur de la pile. Ce raisonnement vaut pour le cube, le pavé droit, le cylindre et tous les prismes droits.
V = aire de la base × hauteur
Le cube et le pavé droit
cube d’arête a : V = a³ = a × a × a
pavé droit : V = longueur × largeur × hauteur
Exemple : un cube de 3 cm d’arête
- 3 × 3 × 3 = 27
Volume : 27 cm³
Exemple : un pavé de 3 cm × 9 cm × 2 cm
- 3 × 9 = 27 (aire de la base)
- 27 × 2 = 54
Volume : 54 cm³
Le cylindre
La base d’un cylindre est un disque, d’aire π × r². On la multiplie par la hauteur.
V = π × r² × h
Exemple : rayon de 3 cm, hauteur de 10 cm
- Aire de la base : π × 3² = 9π
- 9π × 10 = 90π ≈ 282,7
Volume : environ 282,7 cm³
cm³, litres et m³
Un litre est le volume d’un cube de 10 cm de côté, soit 1 000 cm³. Un mètre cube contient 1 000 litres.
1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³
1 m³ = 1 000 L
Exemple : un aquarium de 50 cm × 30 cm × 40 cm
- 50 × 30 × 40 = 60 000 cm³
- 60 000 ÷ 1 000 = 60
Contenance : 60 litres
Doubler les dimensions multiplie le volume par 8
Si l’on multiplie toutes les longueurs par 2, le volume est multiplié par 2 × 2 × 2 = 8. Un cube de 2 cm d’arête a un volume de 8 cm³, un cube de 4 cm en a 64 cm³. Plus généralement, multiplier les longueurs par k multiplie le volume par k³.
Les pièges fréquents
- Mélanger des cm et des m dans le même calcul : convertissez tout avant de multiplier.
- Confondre a³ (a × a × a) et 3 × a.
- Croire qu’un litre vaut 100 cm³ : il en vaut 1 000.
- Penser que doubler les dimensions double le volume : il est multiplié par 8.
- Oublier le carré du rayon dans le volume du cylindre.
Exercices corrigés
Cherchez d’abord la réponse, puis ouvrez la correction.
Quel est le volume d’un cube de 4 cm d’arête ?
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- 4 × 4 × 4 = 64
Réponse : 64 cm³
Quel est le volume d’un pavé de 6 cm × 5 cm × 2 cm ?
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- 6 × 5 = 30
- 30 × 2 = 60
Réponse : 60 cm³
Combien de litres contient un aquarium de 60 cm × 25 cm × 30 cm ?
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- 60 × 25 × 30 = 45 000 cm³
- 45 000 ÷ 1 000 = 45
Réponse : 45 L
Un cube a un volume de 1 000 cm³. Quelle est son arête ?
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- On cherche a tel que a × a × a = 1 000
- 10 × 10 × 10 = 1 000
Réponse : 10 cm
Un pavé a un volume de 120 cm³ et une base de 5 cm × 4 cm. Quelle est sa hauteur ?
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- Aire de la base : 5 × 4 = 20 cm²
- 120 ÷ 20 = 6
Réponse : 6 cm
Combien de litres y a-t-il dans 2 m³ ?
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- 1 m³ = 1 000 L
- 2 × 1 000 = 2 000
Réponse : 2 000 L