Suites logiques : trouver la règle et le terme suivant
Devant une suite de nombres, la question est toujours la même : quelle règle permet de passer d’un terme au suivant ? Quelques réflexes, appliqués dans le bon ordre, suffisent à résoudre la grande majorité des énigmes.
Premier réflexe : regarder les écarts
Calculez la différence entre chaque terme et le suivant. Si elle est toujours la même, la suite est arithmétique : on ajoute un nombre fixe, appelé raison.
Exemple : 3, 9, 15, …
- 9 − 3 = 6 et 15 − 9 = 6
- On ajoute 6 à chaque étape : 15 + 6 = 21
Le terme suivant est 21
Deuxième réflexe : regarder les rapports
Si les écarts grandissent de plus en plus vite, divisez chaque terme par le précédent. Si le rapport est constant, la suite est géométrique : on multiplie par un nombre fixe.
Exemple : 3, 6, 12, …
- 6 ÷ 3 = 2 et 12 ÷ 6 = 2
- On multiplie par 2 : 12 × 2 = 24
Le terme suivant est 24
Trouver un terme lointain sans tout écrire
Pour atteindre le n-ième terme, on applique la règle n − 1 fois à partir du premier.
suite arithmétique : uₙ = u₁ + (n − 1) × r
suite géométrique : uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹
Exemple : le 10ᵉ terme de 3, 9, 15, …
- u₁ = 3 et r = 6
- 3 + 9 × 6 = 57
Le 10ᵉ terme vaut 57
Exemple : le 6ᵉ terme de 3, 6, 12, …
- u₁ = 3 et q = 2
- 3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96
Le 6ᵉ terme vaut 96
Quand ni les écarts ni les rapports ne sont constants
- Les écarts forment eux-mêmes une suite : 2, 3, 5, 8, 12 a pour écarts 1, 2, 3, 4. Le suivant est 12 + 5 = 17.
- Les carrés : 1, 4, 9, 16, … sont 1², 2², 3², 4². Le suivant est 5² = 25.
- La suite de Fibonacci : chaque terme est la somme des deux précédents. 1, 1, 2, 3, 5, 8, puis 13.
- Deux règles en alternance : 2, 5, 4, 7, 6 alterne + 3 et − 1. Le suivant est 9.
Vérifiez toujours la règle trouvée sur tous les termes donnés, pas seulement sur les deux premiers.
Les pièges fréquents
- Conclure trop vite à une suite arithmétique après deux termes.
- Confondre « ajouter 2 » et « doubler » : 2, 4 peut continuer par 6 ou par 8.
- Se tromper d’un rang : le 10ᵉ terme s’obtient en ajoutant 9 fois la raison, pas 10.
- Oublier de tester les écarts des écarts quand la suite accélère régulièrement.
- Ne pas vérifier la règle sur l’ensemble des termes.
Exercices corrigés
Cherchez d’abord la réponse, puis ouvrez la correction.
Quel nombre suit 7, 11, 15, 19 ?
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- Écart constant : + 4
- 19 + 4 = 23
Réponse : 23
Quel nombre suit 5, 15, 45 ?
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- Rapport constant : × 3
- 45 × 3 = 135
Réponse : 135
Quel nombre suit 1, 4, 9, 16, 25 ?
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- Ce sont les carrés de 1 à 5
- 6² = 36
Réponse : 36
Quel nombre suit 2, 5, 10, 17, 26 ?
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- Écarts : 3, 5, 7, 9, puis 11
- 26 + 11 = 37
Réponse : 37
Quel est le 20ᵉ terme de la suite 4, 7, 10, … ?
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- u₁ = 4 et r = 3
- 4 + 19 × 3 = 61
Réponse : 61
Quel nombre suit 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ?
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- Chaque terme est la somme des deux précédents
- 8 + 13 = 21
Réponse : 21