Division euclidienne, restes et calculs d’horloge
Le reste d’une division paraît anodin, mais il répond à des questions très concrètes : quelle heure sera-t-il dans 30 heures ? Quel jour tombera dans 100 jours ? C’est ce qu’on appelle le calcul modulo.
La division euclidienne
Diviser a par b, c’est trouver combien de fois b entre entièrement dans a (le quotient q), et ce qu’il reste (le reste r). Le reste est toujours plus petit que le diviseur.
a = b × q + r, avec 0 ≤ r < b
Exemple : 24 divisé par 7
- Le plus grand multiple de 7 inférieur ou égal à 24 est 21 = 7 × 3
- 24 − 21 = 3
24 = 7 × 3 + 3 : le reste est 3
Les calculs d’horloge
Une horloge de 12 heures revient au même endroit toutes les 12 heures. Pour savoir l’heure affichée, on ajoute les heures, puis on garde le reste de la division par 12. Un reste de 0 s’affiche 12.
Exemple : il est 11 h, quelle heure sera-t-il dans 14 heures ?
- 11 + 14 = 25
- 25 = 12 × 2 + 1
L’horloge affichera 1 h
Sur 24 heures, on raisonne de la même façon avec 24 : 22 h + 5 h = 27, et 27 − 24 = 3 h du matin.
Les jours de la semaine
Les jours reviennent tous les 7 jours. Seul le reste de la division par 7 compte.
Exemple : nous sommes lundi ; quel jour serons-nous dans 100 jours ?
- 100 = 7 × 14 + 2
- 14 semaines complètes ramènent au lundi, puis + 2 jours
Ce sera un mercredi
Les critères de divisibilité
Ils permettent de trouver un reste sans poser la division.
- Par 2, 5 ou 10 : seul le dernier chiffre compte.
- Par 3 ou 9 : on additionne les chiffres. Le reste est le même que celui de cette somme. Pour 456 : 4 + 5 + 6 = 15, donc 456 est divisible par 3 (reste 0) et son reste par 9 vaut 6.
- Par 4 : seuls les deux derniers chiffres comptent.
Le reste d’une somme est le reste de la somme des restes. Par 5 : 47 donne 2 et 38 donne 3, donc 47 + 38 = 85 donne 2 + 3 = 5, soit un reste de 0.
Les pièges fréquents
- Obtenir un reste plus grand que le diviseur : c’est que le quotient est trop petit.
- Afficher « 0 h » sur une horloge de 12 heures au lieu de 12 h.
- Se tromper d’un jour : dans 7 jours, on retombe sur le même jour, pas le lendemain.
- Confondre le quotient (le nombre de fois) et le reste (ce qui dépasse).
- Appliquer la règle de la somme des chiffres à la divisibilité par 4 ou par 7, où elle ne marche pas.
Exercices corrigés
Cherchez d’abord la réponse, puis ouvrez la correction.
Quel est le reste de la division de 50 par 6 ?
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- 6 × 8 = 48
- 50 − 48 = 2
Réponse : 2
Il est 9 h sur une horloge de 12 heures. Quelle heure affichera-t-elle dans 30 heures ?
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- 9 + 30 = 39
- 39 = 12 × 3 + 3
Réponse : 3 h
Nous sommes mardi. Quel jour serons-nous dans 45 jours ?
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- 45 = 7 × 6 + 3
- Mardi + 3 jours
Réponse : Vendredi
Quel est le reste de la division de 1 234 par 9 ?
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- 1 + 2 + 3 + 4 = 10
- Le reste de 10 par 9 vaut 1
Réponse : 1
Il est 23 h. Quelle heure sera-t-il dans 50 heures (horloge de 24 heures) ?
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- 23 + 50 = 73
- 73 = 24 × 3 + 1
Réponse : 1 h
Quel est le reste de 38 + 59 dans la division par 4 ?
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- 38 donne 2 et 59 donne 3
- 2 + 3 = 5, dont le reste par 4 vaut 1
Réponse : 1