Dénombrement : combinaisons, poignées de main et tiroirs
Dénombrer, c’est compter des possibilités sans les écrire une à une. Trois outils couvrent la plupart des énigmes : multiplier les choix, diviser les doublons, et le principe des tiroirs.
Le principe multiplicatif
Quand on fait un choix puis un autre, indépendamment, le nombre de possibilités se multiplie. C’est aussi le nombre de cases d’une grille : lignes × colonnes.
Exemple : 3 entrées et 4 plats
- Pour chaque entrée, 4 plats possibles
- 3 × 4 = 12
12 menus différents
Un code de 4 chiffres, chacun de 0 à 9, offre 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 possibilités.
Retenez : « et » se traduit par une multiplication (une entrée ET un plat), « ou » par une addition (une glace OU un fruit).
Ranger des objets dans un ordre
Pour ranger n objets différents, on a n choix pour la première place, n − 1 pour la deuxième, et ainsi de suite.
Exemple : ranger 3 livres sur une étagère
- 3 choix, puis 2, puis 1
- 3 × 2 × 1 = 6
6 rangements possibles
Les poignées de main : compter les paires
Dans un groupe de n personnes, chacune serre la main des n − 1 autres. Mais la poignée de main entre Anne et Bruno est la même que celle entre Bruno et Anne : on a compté chaque paire deux fois.
nombre de paires = n × (n − 1) ÷ 2
Exemple : 5 personnes
- 5 × 4 = 20
- 20 ÷ 2 = 10
10 poignées de main
La même formule donne le nombre de matchs d’un tournoi où chaque équipe rencontre une fois chacune des autres : 10 équipes jouent 45 matchs.
Le principe des tiroirs
Si l’on range plus d’objets qu’il n’y a de tiroirs, au moins un tiroir contient deux objets. Pour en être certain avec n tiroirs, il faut n + 1 objets.
Exemple : des chaussettes noires et blanches en vrac
- 2 couleurs, donc 2 tiroirs
- Avec 3 chaussettes, deux sont forcément de la même couleur
3 chaussettes suffisent pour former une paire
Plus généralement, pour garantir au moins k + 1 objets dans un même tiroir parmi n, il faut n × k + 1 objets. Pour avoir 3 objets dans l’une de 4 boîtes : 4 × 2 + 1 = 9.
Les pièges fréquents
- Compter deux fois chaque paire en oubliant la division par 2.
- Additionner au lieu de multiplier des choix successifs.
- Se tromper d’une unité dans le principe des tiroirs : il faut n + 1 objets, pas n.
- Oublier de se demander si l’ordre compte : une paire n’a pas d’ordre, un podium en a un.
- Énumérer à la main de grands nombres de cas au lieu de chercher la structure.
Exercices corrigés
Cherchez d’abord la réponse, puis ouvrez la correction.
Avec 3 pantalons et 5 t-shirts, combien de tenues différentes ?
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- 3 × 5 = 15
Réponse : 15
Combien de poignées de main dans un groupe de 8 personnes ?
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- 8 × 7 = 56
- 56 ÷ 2 = 28
Réponse : 28
Combien de cases compte une grille de 6 lignes et 7 colonnes ?
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- 6 × 7 = 42
Réponse : 42
Combien d’objets faut-il au minimum pour être sûr qu’une de 5 boîtes en contienne au moins 2 ?
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- 5 boîtes, donc 5 + 1
Réponse : 6
Un tiroir contient des chaussettes de 4 couleurs. Combien en prendre au hasard pour être sûr d’avoir une paire ?
Voir la correction
- 4 couleurs, donc 4 + 1
Réponse : 5
De combien de façons peut-on placer 4 personnes dans une file ?
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- 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Réponse : 24