Le cercle : périmètre, aire et nombre π
Tous les calculs sur le cercle reposent sur le rayon et sur le nombre π, environ égal à 3,14. Deux formules suffisent, à condition de ne pas confondre le rayon avec le diamètre, ni le périmètre avec l’aire.
Rayon, diamètre et π
Le rayon r est la distance entre le centre et le bord. Le diamètre d traverse le cercle en passant par le centre : il vaut deux rayons.
d = 2 × r
π est le rapport entre le périmètre d’un cercle et son diamètre. Il vaut environ 3,14159. On garde souvent le résultat sous la forme « 6π » pour rester exact, puis on arrondit à la fin si besoin.
Le périmètre du cercle
P = 2 × π × r = π × d
Exemple : un cercle de rayon 3 cm
- P = 2 × π × 3 = 6π
- 6 × 3,14159 ≈ 18,85
Périmètre : 6π cm, soit environ 18,85 cm
L’aire du disque
A = π × r²
Exemple : un disque de rayon 3 cm
- r² = 3 × 3 = 9
- A = 9π ≈ 28,27
Aire : 9π cm², soit environ 28,27 cm²
r² veut dire r × r, et non 2 × r. Pour r = 3, r² vaut 9 et non 6.
Retrouver le rayon
À partir du périmètre, on divise par 2π. À partir de l’aire, on divise par π, puis on cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne le résultat.
Exemple : un périmètre de 10π cm
- 10π ÷ 2π = 5
Rayon : 5 cm
Exemple : une aire de 49π cm²
- 49π ÷ π = 49
- 7 × 7 = 49
Rayon : 7 cm
Le demi-cercle et l’effet d’un agrandissement
Le périmètre d’un demi-disque comprend l’arc, qui vaut π × r, et le diamètre qui le ferme. Pour r = 4 cm : 4π + 8 ≈ 20,57 cm.
Doubler le rayon double le périmètre, mais multiplie l’aire par 4, puisque le rayon y est au carré.
Les pièges fréquents
- Utiliser le diamètre à la place du rayon dans 2πr ou πr².
- Confondre 2πr (une longueur) et πr² (une surface).
- Calculer r² comme 2 × r.
- Oublier le diamètre dans le périmètre d’un demi-cercle.
- Arrondir π trop tôt et accumuler les erreurs : gardez π jusqu’à la fin.
Exercices corrigés
Cherchez d’abord la réponse, puis ouvrez la correction.
Quel est le périmètre d’un cercle de rayon 5 cm ?
Voir la correction
- P = 2 × π × 5 = 10π
- 10π ≈ 31,42
Réponse : 10π cm, soit environ 31,42 cm
Quelle est l’aire d’un disque de diamètre 10 cm ?
Voir la correction
- Rayon : 10 ÷ 2 = 5 cm
- A = π × 5² = 25π ≈ 78,54
Réponse : 25π cm², soit environ 78,54 cm²
Un cercle a un périmètre de 14π cm. Quel est son rayon ?
Voir la correction
- 14π ÷ 2π = 7
Réponse : 7 cm
Un disque a une aire de 36π cm². Quel est son périmètre ?
Voir la correction
- r² = 36, donc r = 6 cm
- P = 2 × π × 6 = 12π
Réponse : 12π cm
Une roue a un diamètre de 70 cm. Quelle distance parcourt-elle en un tour ?
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- P = π × 70 = 70π
- 70π ≈ 219,9 cm
Réponse : Environ 2,20 m
On double le rayon d’un disque. Par combien son aire est-elle multipliée ?
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- A = π × (2r)² = π × 4r²
- C’est 4 fois π × r²
Réponse : Par 4