Le binaire : convertir et compter en base 2

Le principe des positions

En décimal, 345 signifie 3 centaines, 4 dizaines et 5 unités. Chaque position vaut 10 fois la précédente. En binaire, chaque position vaut 2 fois la précédente.

valeurs des positions, de droite à gauche : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…

Du binaire au décimal

On écrit la valeur de chaque position sous les chiffres, puis on additionne celles qui portent un 1.

Du décimal au binaire

On cherche la plus grande puissance de 2 qui tient dans le nombre, on la retire, et l’on recommence avec ce qui reste. Chaque puissance utilisée donne un 1, les autres un 0.

Autre méthode : divisez par 2 successivement et notez les restes. Lus de bas en haut, ils donnent le nombre binaire.

Combien de valeurs sur n bits ?

Chaque bit double le nombre de combinaisons possibles. Avec n bits, on peut écrire 2ⁿ valeurs, de 0 à 2ⁿ − 1.

n bits → 2ⁿ valeurs, de 0 à 2ⁿ − 1

Un octet compte 8 bits : 2⁸ = 256 valeurs, de 0 à 255. C’est pourquoi les composantes d’une couleur à l’écran vont de 0 à 255.

Doubler et additionner

Ajouter un 0 à droite multiplie par 2, comme ajouter un 0 en décimal multiplie par 10 : 101₂ = 5 et 1010₂ = 10.

Pour additionner, on procède comme en décimal, avec la règle 1 + 1 = 10 : on écrit 0 et on retient 1. Ainsi 101₂ + 11₂ = 1000₂, ce qui correspond bien à 5 + 3 = 8.

Les pièges fréquents

• Lire les positions de gauche à droite : la plus petite valeur (1) est toujours à droite.
• Oublier les positions à 0 lors de la conversion vers le binaire.
• Lire « 10 » en binaire comme dix : il vaut 2.
• Confondre 2ⁿ (le nombre de valeurs) et 2ⁿ − 1 (la plus grande valeur).
• Oublier la retenue dans une addition : 1 + 1 donne 0, avec 1 de retenue.

Exercices corrigés

Cherchez d’abord la réponse, puis ouvrez la correction.

1. Que vaut 1000₂ en décimal ?

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   1. Seule la position 8 porte un 1

   Réponse : 8

2. Que vaut 10110₂ en décimal ?

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   1. Positions : 16, 8, 4, 2, 1
   2. 16 + 4 + 2 = 22

   Réponse : 22

3. Écrivez 25 en binaire.

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   1. 25 = 16 + 9 = 16 + 8 + 1
   2. Positions 16, 8 et 1

   Réponse : 11001₂

4. Quelle est la plus grande valeur qu’on peut écrire sur 6 bits ?

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   1. 2⁶ = 64 valeurs
   2. De 0 à 63

   Réponse : 63

5. Combien vaut 111₂ + 1₂ ?

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   1. 111₂ = 7
   2. 7 + 1 = 8 = 1000₂

   Réponse : 1000₂

6. Que vaut 100000₂ en décimal ?

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   1. Un seul 1, à la 6ᵉ position en partant de la droite
   2. 2⁵ = 32

   Réponse : 32