Angles d’un polygone : somme, polygones réguliers
Il suffit de connaître la somme des angles d’un triangle pour retrouver celle de n’importe quel polygone convexe. L’astuce consiste à le découper en triangles à partir d’un seul sommet.
Le point de départ : 180° dans un triangle
Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut 180°. Si deux angles mesurent 50° et 70°, le troisième mesure 180 − 120 = 60°.
La somme des angles d’un polygone
Depuis un sommet d’un polygone convexe à n côtés, on peut tracer des diagonales vers tous les sommets non voisins. On obtient n − 2 triangles, dont les angles forment exactement ceux du polygone.
somme des angles = (n − 2) × 180°
Exemple : un pentagone (5 côtés)
- n − 2 = 3 triangles
- 3 × 180° = 540°
Somme des angles : 540°
- Quadrilatère (4 côtés) : 360°.
- Hexagone (6 côtés) : 720°.
- Octogone (8 côtés) : 1 080°.
L’angle d’un polygone régulier
Dans un polygone régulier, tous les angles sont égaux. Il suffit de partager la somme entre les n angles.
angle = (n − 2) × 180° ÷ n
Exemple : un hexagone régulier
- Somme : 4 × 180° = 720°
- 720° ÷ 6 = 120°
Chaque angle mesure 120°
Pour un pentagone régulier, on trouve 540° ÷ 5 = 108° ; pour un octogone régulier, 1 080° ÷ 8 = 135°.
Les angles extérieurs
En faisant le tour d’un polygone convexe, on tourne d’un angle extérieur à chaque sommet, et l’on finit par faire un tour complet. La somme des angles extérieurs vaut donc toujours 360°, quel que soit le nombre de côtés.
angle extérieur d’un polygone régulier = 360° ÷ n
Exemple : un polygone régulier dont chaque angle mesure 140°
- Angle extérieur : 180° − 140° = 40°
- 360° ÷ 40° = 9
Le polygone a 9 côtés
Les pièges fréquents
- Calculer n × 180° au lieu de (n − 2) × 180°.
- Appliquer la formule de l’angle régulier à un polygone dont les angles ne sont pas égaux.
- Confondre angle intérieur et angle extérieur : ils sont supplémentaires, leur somme fait 180°.
- Oublier que ces formules concernent les polygones convexes.
- Compter les sommets de travers sur une figure : numérotez-les.
Exercices corrigés
Cherchez d’abord la réponse, puis ouvrez la correction.
Quelle est la somme des angles d’un heptagone (7 côtés) ?
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- (7 − 2) × 180° = 5 × 180°
Réponse : 900°
Combien mesure chaque angle d’un décagone régulier (10 côtés) ?
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- Somme : 8 × 180° = 1 440°
- 1 440° ÷ 10 = 144°
Réponse : 144°
Un triangle a deux angles de 47° et 68°. Combien mesure le troisième ?
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- 47 + 68 = 115
- 180 − 115 = 65
Réponse : 65°
La somme des angles d’un polygone vaut 1 260°. Combien a-t-il de côtés ?
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- 1 260 ÷ 180 = 7, donc n − 2 = 7
- n = 9
Réponse : 9 côtés
Les angles extérieurs d’un polygone régulier mesurent 30°. Combien a-t-il de côtés ?
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- 360° ÷ 30° = 12
Réponse : 12 côtés
Un quadrilatère a trois angles de 90°, 110° et 75°. Combien mesure le quatrième ?
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- Somme : 360°
- 360 − (90 + 110 + 75) = 360 − 275 = 85
Réponse : 85°