Aires et périmètres : rectangle, carré, triangle
Le périmètre mesure le tour d’une figure, l’aire mesure la surface qu’elle couvre. La confusion entre les deux est l’erreur la plus fréquente en géométrie, et elle se repère souvent à l’unité : des centimètres pour l’un, des centimètres carrés pour l’autre.
Périmètre ou aire ?
Le périmètre est une longueur : c’est la longueur de la clôture autour d’un jardin. Il s’exprime en cm, en m ou en km.
L’aire est une surface : c’est la quantité de gazon nécessaire pour couvrir ce jardin. Elle s’exprime en cm², en m² ou en km².
Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires très différentes. Un rectangle de 1 cm sur 9 cm et un carré de 5 cm de côté ont tous deux un périmètre de 20 cm, mais des aires de 9 cm² et 25 cm².
Le rectangle et le carré
rectangle : P = 2 × (L + l)
A = L × l
carré de côté c : P = 4 × c
A = c²
Exemple : un rectangle de 3 cm sur 9 cm
- P = 2 × (3 + 9) = 2 × 12 = 24 cm
- A = 3 × 9 = 27 cm²
Périmètre : 24 cm · Aire : 27 cm²
Exemple : un carré de 7 cm de côté
- P = 4 × 7 = 28 cm
- A = 7 × 7 = 49 cm²
Périmètre : 28 cm · Aire : 49 cm²
Le triangle
Un triangle est la moitié d’un rectangle qui aurait la même base et la même hauteur. D’où la division par 2. La hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et le sommet opposé, et non la longueur d’un côté penché.
A = base × hauteur ÷ 2
Exemple : base de 6 cm, hauteur de 9 cm
- 6 × 9 = 54
- 54 ÷ 2 = 27
Aire : 27 cm²
Le périmètre d’un triangle est simplement la somme de ses trois côtés.
Les figures composées
Pour une figure en forme de L, on la découpe en rectangles, ou l’on calcule le grand rectangle puis on retire la partie manquante.
Exemple : un rectangle de 10 m sur 6 m, privé d’un coin de 4 m sur 3 m
- Grand rectangle : 10 × 6 = 60 m²
- Coin retiré : 4 × 3 = 12 m²
- 60 − 12 = 48 m²
Aire : 48 m²
Le périmètre de cette forme en L vaut toujours 2 × (10 + 6) = 32 m : les deux bords du coin retiré remplacent exactement les deux morceaux de bord disparus.
Convertir les unités d’aire
Comme 1 m = 100 cm, un carré de 1 m de côté contient 100 × 100 petits carrés de 1 cm. Les conversions d’aire se font donc par 100, et non par 10.
1 m² = 10 000 cm²
1 km² = 1 000 000 m²
1 ha = 10 000 m²
Les pièges fréquents
- Confondre périmètre et aire, ou donner une aire en cm au lieu de cm².
- Oublier la division par 2 pour l’aire d’un triangle.
- Prendre un côté penché pour la hauteur du triangle.
- Convertir 1 m² en 100 cm² au lieu de 10 000 cm².
- Calculer un périmètre ou une aire avec des longueurs exprimées dans des unités différentes.
Exercices corrigés
Cherchez d’abord la réponse, puis ouvrez la correction.
Un rectangle mesure 8 cm sur 5 cm. Quels sont son périmètre et son aire ?
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- P = 2 × (8 + 5) = 26 cm
- A = 8 × 5 = 40 cm²
Réponse : 26 cm et 40 cm²
Un carré a un périmètre de 36 cm. Quelle est son aire ?
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- Côté : 36 ÷ 4 = 9 cm
- A = 9 × 9 = 81 cm²
Réponse : 81 cm²
Un triangle a une base de 10 cm et une hauteur de 7 cm. Quelle est son aire ?
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- 10 × 7 = 70
- 70 ÷ 2 = 35
Réponse : 35 cm²
Un rectangle a une aire de 72 cm² et une largeur de 6 cm. Quel est son périmètre ?
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- Longueur : 72 ÷ 6 = 12 cm
- P = 2 × (12 + 6) = 36 cm
Réponse : 36 cm
Combien de cm² y a-t-il dans 2,5 m² ?
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- 1 m² = 10 000 cm²
- 2,5 × 10 000 = 25 000
Réponse : 25 000 cm²
Un rectangle de 12 m sur 8 m est privé d’un coin de 5 m sur 3 m. Quelle est l’aire de la figure ?
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- 12 × 8 = 96 m²
- 96 − 5 × 3 = 96 − 15 = 81 m²
Réponse : 81 m²