Calculer une moyenne : simple, pondérée et pièges
La moyenne résume une série de valeurs par un seul nombre : celui qu’on obtiendrait si tout était réparti également. Elle se calcule en deux gestes, mais elle se prête à plusieurs pièges dès qu’il y a des coefficients ou des groupes de tailles différentes.
La moyenne simple
On additionne toutes les valeurs, puis on divise par le nombre de valeurs.
moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs
Exemple : la moyenne de 7, 11 et 18
- 7 + 11 + 18 = 36
- 36 ÷ 3 = 12
La moyenne vaut 12
Un zéro compte comme une valeur : la moyenne de 0, 10 et 20 est 30 ÷ 3 = 10, pas 30 ÷ 2.
Astuce de calcul mental : partir d’une valeur repère
Quand les valeurs sont proches, choisissez un nombre rond, calculez les écarts, puis faites la moyenne des écarts.
Exemple : 98, 101, 103 et 102
- Écarts par rapport à 100 : −2, +1, +3, +2
- Somme des écarts : +4, et 4 ÷ 4 = +1
- 100 + 1 = 101
La moyenne vaut 101
La moyenne pondérée
Quand certaines valeurs comptent plus que d’autres, on les multiplie par leur coefficient. On divise ensuite par la somme des coefficients, et non par le nombre de valeurs.
moyenne = (v₁ × c₁ + v₂ × c₂ + …) ÷ (c₁ + c₂ + …)
Exemple : 12 (coef. 2), 15 (coef. 3), 9 (coef. 1)
- 12 × 2 + 15 × 3 + 9 × 1 = 24 + 45 + 9 = 78
- Somme des coefficients : 2 + 3 + 1 = 6
- 78 ÷ 6 = 13
La moyenne pondérée vaut 13
Trouver la valeur qui manque
Si l’on connaît la moyenne visée, on en déduit le total nécessaire : moyenne × nombre de valeurs. Il suffit ensuite de retirer ce que l’on a déjà.
Exemple : 11, 14 et 8 ; quelle 4ᵉ note pour avoir 12 de moyenne ?
- Total nécessaire : 12 × 4 = 48
- Total actuel : 11 + 14 + 8 = 33
- 48 − 33 = 15
Il faut 15 à la 4ᵉ note
Le même raisonnement sert à ajouter ou retirer une valeur : une moyenne de 10 sur 4 valeurs correspond à un total de 40. En ajoutant 20, on obtient 60 ÷ 5 = 12.
Ne pas faire la moyenne des moyennes
Pour réunir deux groupes de tailles différentes, il faut repasser par les totaux. La moyenne des deux moyennes ne tient pas compte de l’effectif de chaque groupe.
Exemple : 10 élèves avec 12 de moyenne, 30 élèves avec 8
- Totaux : 10 × 12 = 120 et 30 × 8 = 240
- (120 + 240) ÷ 40 = 9
La moyenne générale vaut 9, et non (12 + 8) ÷ 2 = 10
Moyenne ou médiane ?
La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes. Pour la série 2, 3, 3, 4, 28, la moyenne vaut 40 ÷ 5 = 8, alors que la médiane (la valeur du milieu une fois la série rangée) vaut 3. Quand une valeur isolée tire tout vers le haut, comme pour les salaires ou les prix de l’immobilier, la médiane décrit souvent mieux la situation typique.
Les pièges fréquents
- Diviser par le nombre de valeurs au lieu de la somme des coefficients dans une moyenne pondérée.
- Oublier les zéros dans le décompte des valeurs.
- Faire la moyenne de deux moyennes de groupes qui n’ont pas le même effectif.
- Croire que la moyenne est forcément une des valeurs de la série.
- Confondre moyenne et médiane quand la série contient une valeur extrême.
Exercices corrigés
Cherchez d’abord la réponse, puis ouvrez la correction.
Quelle est la moyenne de 14, 9 et 16 ?
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- 14 + 9 + 16 = 39
- 39 ÷ 3 = 13
Réponse : 13
Quelle est la moyenne de 6, 8, 10, 12 et 14 ?
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- Somme : 50
- 50 ÷ 5 = 10
Réponse : 10
Notes : 10 (coefficient 1) et 16 (coefficient 3). Quelle est la moyenne ?
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- 10 × 1 + 16 × 3 = 58
- 58 ÷ 4 = 14,5
Réponse : 14,5
Notes : 13, 9 et 11. Quelle 4ᵉ note faut-il pour avoir 12 de moyenne ?
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- Total nécessaire : 12 × 4 = 48
- 48 − (13 + 9 + 11) = 48 − 33 = 15
Réponse : 15
Six valeurs ont une moyenne de 7. On retire la valeur 12. Quelle est la nouvelle moyenne ?
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- Total : 6 × 7 = 42
- 42 − 12 = 30, et 30 ÷ 5 = 6
Réponse : 6
20 personnes ont 30 ans en moyenne, 30 autres ont 40 ans en moyenne. Quel est l’âge moyen de l’ensemble ?
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- Totaux : 20 × 30 = 600 et 30 × 40 = 1 200
- 1 800 ÷ 50 = 36
Réponse : 36 ans