Fractions : simplifier, additionner, comparer
Une fraction décrit un partage : combien de parts on prend, sur combien de parts égales. Quatre règles suffisent pour presque tous les calculs, à condition de savoir à quel moment chercher un dénominateur commun.
Lire une fraction
Dans 3/4, le nombre du bas (4) est le dénominateur : il indique en combien de parts égales on coupe l’unité. Le nombre du haut (3) est le numérateur : il indique combien de parts on prend.
Une fraction est aussi une division : 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75. Cette lecture sert à comparer ou à vérifier un résultat.
a/b = a ÷ b
Fractions égales et simplification
Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre ne change pas la valeur de la fraction. Simplifier, c’est diviser les deux par un diviseur commun, idéalement le plus grand.
Exemple : simplifier 18/24
- 18 et 24 sont tous deux divisibles par 6
- 18 ÷ 6 = 3 et 24 ÷ 6 = 4
18/24 = 3/4
Si vous ne voyez pas tout de suite le plus grand diviseur commun, simplifiez par étapes : 18/24 = 9/12 (÷ 2), puis 9/12 = 3/4 (÷ 3).
Additionner avec le même dénominateur
Quand les parts ont la même taille, on additionne simplement le nombre de parts. Le dénominateur ne change pas.
a/d + b/d = (a + b)/d
Exemple : 3/4 + 5/4
- 3 + 5 = 8, on garde le dénominateur 4
- 8/4 = 2
3/4 + 5/4 = 2
Additionner avec des dénominateurs différents
On ne peut pas additionner des tiers et des quarts directement : les parts n’ont pas la même taille. On transforme d’abord les deux fractions pour qu’elles aient le même dénominateur, souvent le produit des deux ou leur plus petit multiple commun.
Exemple : 1/3 + 1/4
- Dénominateur commun : 12
- 1/3 = 4/12 et 1/4 = 3/12
- 4/12 + 3/12 = 7/12
1/3 + 1/4 = 7/12
La soustraction suit exactement la même règle : 1/3 − 1/4 = 4/12 − 3/12 = 1/12.
Comparer deux fractions
Avec le même dénominateur, la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur. Sinon, on met les deux au même dénominateur, ou on les convertit en nombres décimaux.
Exemple : 2/3 ou 3/5 ?
- Dénominateur commun : 15
- 2/3 = 10/15 et 3/5 = 9/15
- 10/15 > 9/15
2/3 est plus grand que 3/5
Avec le même numérateur, c’est l’inverse : plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites. 1/8 est plus petit que 1/5.
Multiplier et diviser
Pour multiplier, pas besoin de dénominateur commun : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser, on multiplie par la fraction inverse.
a/b × c/d = (a × c)/(b × d)
a/b ÷ c/d = a/b × d/c
Exemple : 2/3 × 3/4
- 2 × 3 = 6 et 3 × 4 = 12
- 6/12 = 1/2
2/3 × 3/4 = 1/2
Exemple : 2/3 ÷ 4/5
- On multiplie par l’inverse : 2/3 × 5/4
- 10/12 = 5/6
2/3 ÷ 4/5 = 5/6
Prendre une fraction d’une quantité
Prendre 3/4 d’une quantité, c’est la diviser en 4 parts égales et en garder 3. On peut diviser d’abord, ce qui donne des nombres plus petits.
Exemple : 3/4 de 20 €
- 20 ÷ 4 = 5
- 5 × 3 = 15
3/4 de 20 € = 15 €
Les pièges fréquents
- Additionner les dénominateurs : 1/3 + 1/4 ne vaut pas 2/7.
- Diviser une fraction sans la retourner : diviser par 4/5 revient à multiplier par 5/4.
- Croire qu’un grand dénominateur donne une grande fraction : 1/8 < 1/5.
- Simplifier une somme terme à terme : dans (2 + 3)/3, on ne peut pas « barrer » les 3.
- Oublier de simplifier le résultat final, ce qui rend les comparaisons plus difficiles.
Exercices corrigés
Cherchez d’abord la réponse, puis ouvrez la correction.
Combien vaut 5/6 + 1/6 ?
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- Même dénominateur : 5 + 1 = 6
- 6/6 = 1
Réponse : 1
Combien vaut 2/5 + 1/2 ?
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- Dénominateur commun : 10
- 4/10 + 5/10 = 9/10
Réponse : 9/10
Simplifiez 36/48.
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- Plus grand diviseur commun : 12
- 36 ÷ 12 = 3 et 48 ÷ 12 = 4
Réponse : 3/4
Laquelle est la plus grande : 3/8 ou 2/5 ?
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- Dénominateur commun : 40
- 3/8 = 15/40 et 2/5 = 16/40
Réponse : 2/5
Combien vaut 3/5 × 10/9 ?
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- 3 × 10 = 30 et 5 × 9 = 45
- 30/45 = 2/3
Réponse : 2/3
Combien font 2/3 de 45 ?
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- 45 ÷ 3 = 15
- 15 × 2 = 30
Réponse : 30